Dérivation
Pour chaque fonction, calculer le taux de variation entre $a$ et $a+h$. Si la fonction est dérivable en $a$, précisez la valeur $f'(a)$ : $f(x) = 3$ , $a=1$ $f(x) = x+1$ , $a=0$ $f(x) = x^2-x$ , $a=0$ $f(x) = \frac{1}{x}$ , $a=1$ $f(x) = \sqrt{x}$ , $a=0$ $f(x) = |x|$ , $a=0$ Indice 1 Calculer le taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ Indice 2 Si la limite du taux de variation existe en $a$, c'est le nombre dérivé $f'(a)$ Indice $|x|$ La limite du taux de variation est-elle la même lorsque $h\lt 0$ et $h \gt 0$ ? On calcule le taux de variation pour $f(x) = 3$ et $a=1$ : $$ \begin{array}{lll} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} &=& \frac{3-3}{h} \\ &=& \frac{0}{h} \\ &=& 0 \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} 0 = 0 $$ Donc le nombre dérivé $f'(1) = 0$ On calcule le taux de variation pour $f(x) = x+1$ et $a=0$ $$ \begin{array}{lll} \frac{\color{red}{f(0+h)} - \color{blue}{f(0)}}{h} &=& \frac{\color{red}{\left((0+h) + 1\right)} - \color{blue}{\left(0 + 1\right)}}{h} \\ &=& \frac{h + 1 - 1}{h} \\ &=& \frac{h}{h} \\ &=& 1 \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} 1 = 1 $$ Donc le nombre dérivé $f'(0) = 1$ On calcule le taux de variation pour $f(x) = x^2-x$ et $a=0$ $$ \begin{array}{lll} \frac{\color{red}{f(0+h)} - \color{blue}{f(0)}}{h} &=& \frac{\color{red}{\left((0+h)^2 - (0+h) \right)} - \color{blue}{\left(0^2 - 0 \right)}}{h} \\ &=& \frac{h^2 - h}{h} \\ &=& \frac{h(h-1)}{h} \\ &=& h-1 \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} h-1 = -1 $$ Donc le nombre dérivé $f'(0) = -1$ On calcule le taux de variation pour $f(x) = \frac{1}{x}$ et $a=1$ $$ \begin{array}{lll} \frac{\color{red}{f(1+h)} - \color{blue}{f(1)}}{h} &=& \frac{\color{red}{\frac{1}{1+h}} - \color{blue}{\frac{1}{1}}}{h} \\ &=& \frac{\frac{1}{1+h} - \frac{1+h}{1+h}}{h} \\ &=& \frac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{h} \\ &=& \frac{\frac{-h}{1+h}}{h} \\ &=& \frac{-h}{h(1+h)} \\ &=& \frac{-1}{1+h} \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{-1}{1+h} = \frac{-1}{1+0} = -1 $$ Donc le nombre dérivé $f'(1) = -1$ On calcule le taux de variation pour $f(x) = \sqrt{x}$ et $a=0$ $$ \begin{array}{lll} \frac{\color{red}{f(0+h)} - \color{blue}{f(0)}}{h} &=& \frac{\color{red}{\sqrt{0+h}} - \color{blue}{\sqrt{0}}}{h} \\ &=& \frac{\sqrt{h}}{h} \\ &=& \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\sqrt{h}} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{h}} \\ \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{h}} = +\infty $$ Donc il n'y pas de nombre dérivé $f'(0)$ On calcule le taux de variation pour $f(x) = |x|$ et $a=0$ $$ \begin{array}{lll} \frac{\color{red}{f(0+h)} - \color{blue}{f(0)}}{h} &=& \frac{\color{red}{|0+h|} - \color{blue}{|0|}}{h} &=& \frac{|h|}{h} \end{array} $$ Il y a deux cas selon le signe de $h$ :

  • Cas $h \gt 0 $ :

    $$ \frac{\color{red}{f(0+h)} - \color{blue}{f(0)}}{h} = \frac{|h|}{h} = \frac{h}{h} = 1 $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} 1 = 1 $$

  • Cas $h \lt 0 $ :

    $$ \frac{\color{red}{f(0+h)} - \color{blue}{f(0)}}{h} = \frac{|h|}{h} = \frac{-h}{h} = -1 $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} -1 = -1 $$
La limite n'est pas unique, il n'y a donc pas de nombre dérivé. Pour chaque fonction, calculer le taux de variation entre $a$ et $a+h$. Si la fonction est dérivable en $a$, précisez la valeur $f'(a)$ : $f(x) = -2$ , $a=0$ $f(x) = -2x-3$ , $a=1$ $f(x) = x^3-2x$ , $a=0$ $f(x) = \frac{1}{x+1}$ , $a=0$ $f(x) = \sqrt{x}$ , $a=1$ (on , ra multiplier par le conjugué du numérateur) Indice $\sqrt{x}$ Penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par la forme conjuguée du numérateur. On calcule le taux de variation pour $f(x) = -2$ et $a=0$ : $$ \begin{array}{lll} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} &=& \frac{-2-(-2)}{h} \\ &=& \frac{0}{h} \\ &=& 0 \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} 0 = 0 $$ Donc le nombre dérivé $f'(0) = 0$ On calcule le taux de variation pour $f(x) = -2x-3$ et $a=1$ $$ \begin{array}{lll} \frac{\color{red}{f(1+h)} - \color{blue}{f(1)}}{h} &=& \frac{\color{red}{\left(-2\times(1+h) - 3\right)} - \color{blue}{\left(-2\times 1 - 3\right)}}{h} \\ &=& \frac{-2 -2h - 3 - (-5)}{h} \\ &=& \frac{-2h}{h} \\ &=& -2 \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} -2 = -2 $$ Donc le nombre dérivé $f'(1) = -2$ On calcule le taux de variation pour $f(x) = x^3-2x$ et $a=0$ $$ \begin{array}{lll} \frac{\color{red}{f(0+h)} - \color{blue}{f(0)}}{h} &=& \frac{\color{red}{\left((0+h)^3 - 2(0+h) \right)} - \color{blue}{\left(0^3 - 2\times 0 \right)}}{h} \\ &=& \frac{h^3 - 2h}{h} \\ &=& \frac{h(h^2-2)}{h} \\ &=& h^2-2 \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} h^2-2 = 0^2 - 2 = -2 $$ Donc le nombre dérivé $f'(0) = -2$ On calcule le taux de variation pour $f(x) = \frac{1}{x+1}$ et $a=0$ $$ \begin{array}{lll} \frac{\color{red}{f(0+h)} - \color{blue}{f(0)}}{h} &=& \frac{\color{red}{\frac{1}{(0+h) + 1}} - \color{blue}{\frac{1}{0 + 1}}}{h} \\ &=& \frac{\frac{1}{h+1} - \frac{1}{1}}{h} \\ &=& \frac{\frac{1}{h+1} - \frac{h+1}{h+1}}{h} \\ &=& \frac{\frac{1 - (h+1)}{h+1}}{h} \\ &=& \frac{\frac{-h}{h+1}}{h} \\ &=& \frac{-h}{h(h+1)} \\ &=& \frac{-1}{h+1} \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{-1}{h+1} = \frac{-1}{0+1} = -1 $$ Donc le nombre dérivé $f'(0) = -1$ On calcule le taux de variation pour $f(x) = \sqrt{x}$ et $a=1$ $$ \begin{array}{llll} \frac{\color{red}{f(1+h)} - \color{blue}{f(1)}}{h} &=& \frac{\color{red}{\sqrt{1+h}} - \color{blue}{\sqrt{1}}}{h} & \\ &=& \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} & \\ &=& \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} \times \color{green}{\frac{\sqrt{1+h} + 1}{\sqrt{1+h} + 1}}{h} & \text{ on multiplie par le conjugue} \\ &=& \frac{\sqrt{1+h}^2 - 1^2}{h(\sqrt{1+h} + 1)} \\ &=& \frac{(1+h) - 1}{h(\sqrt{1+h} + 1)} \\ &=& \frac{h}{h(\sqrt{1+h} + 1)} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1+h} + 1} \end{array} $$ On calcule la limite : $$ \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1+h} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{2} $$ Donc le nombre dérivé $f'(1) = \frac{1}{2}$
Sur les courbes suivantes, on peut visualiser une fonction $f$ sur son ensemble de définition et sa tangente en $A(a, f(a))$ (où $a$ est un réel). Pour chaque courbe, donner $f(a)$, $f'(a)$ et l'équation cartésienne de la tangente en $A$ : Dans chaque cas, $f(a)$ est obtenu par lecture graphique des coordonnées du point $A (a, f(a))$ et le nombre dérivé $f'(a)$ comme coefficient directeur de la tangente en $A$ :

$A(1;-1)$ donc f(1)=-1

$T_1 = (AB)$ où $B(2;0)$, donc : $$ f'(1) = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - (-1)}{2 - 1} = 1 $$

$A(2;1)$ donc f(2)=1

$T_2 = (AB)$ où $B(3;1)$, donc : $$ f'(1) = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1-1}{3 - 2} = 0 $$ On pouvait aussi dire que $T_2$ était horizontale.

$A(-2;-1)$ donc f(-2)=-1

$T_{-2} = (AB)$ où $B(-1;1)$, donc : $$ f'(-2) = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - (-1)}{-1 - (-2)} = 2 $$

$A(-2;4)$ donc f(-2)=-1

$T_{-2} = (AB)$ où $B(0;3)$, donc : $$ f'(-2) = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 4}{0 - (-2)} = \frac{-1}{2} $$

Soit $f$ une fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$. On sait que :

  • La courbe passe par les points $A(-2;0)$, $O(0,0)$ et $B(2,0)$
  • $f'(0)=1$, $f'(2)=-2$ et $f'(-2)=-2$.

Tracer les tangentes $T_{-2}$, $T_{0}$ et $T_{2}$ à la courbe passant par $A$, $O$ et $B$. Donner les équations cartésiennes de $T_{-2}$, $T_{0}$ et $T_{2}$. Pour tracer $T_{-2}$, on trace la courbe qui passe par $A(-2;0)$ et de coefficient directeur $f'(-2)=-2$ (avancer de $1$, descendre de $-2$) : Pour tracer $T_{0}$, on trace la courbe qui passe par $O(0;0)$ et de coefficient directeur $f'(0)=1$ (avancer de $1$, monter de $1$) : Pour tracer $T_{2}$, on trace la courbe qui passe par $B(2;0)$ et de coefficient directeur $f'(2)=-2$ (avancer de $1$, descendre de $-2$) : Equation cartésienne de $T_{-2}$ : $$ \begin{array}{llll} T_{-2} &:& y =& f'(-2) (x - (-2)) + f(2) \\ &:& y =& -2(x + 2) + 0 \\ T_{-2} &:& y =& -2 x - 4 \end{array} $$ Equation cartésienne de $T_{0}$ : $$ \begin{array}{llll} T_{0} &:& y =& f'(0) (x - 0) + f(0) \\ &:& y =& 1\times x + 0 \\ T_{0} &:& y =& x \end{array} $$ Equation cartésienne de $T_{2}$ : $$ \begin{array}{llll} T_{2} &:& y =& f'(2) (x - 2) + f(2) \\ &:& y =& -2\times (x - 2) + 0 \\ T_{2} &:& y =& -2x+4 \end{array} $$