Le problème de Monty Hall
Monty Hall était le présentateur d'une émission télévisée américaine des années 60, «Let's Make a Deal ». Dans cette émission, les candidats se voyaient proposer un choix à l'aveugle parmi trois portes fermées :
  • Derrière l'une des portes se trouve une voiture qui récompense le candidat gagnant
  • Derrière les deux autres, se trouvent deux chèvres qui désignent alors le candidat comme perdant.
Le choix se déroule en deux temps :
  • Le candidat commence par choisir une des portes
  • Puis Monty Hall ouvre une des deux portes perdantes, l'ouvre pour montrer la chèvre et la retire du choix.
  • Il reste deux portes fermées. Le candidat a alors la possibilité de changer d'avis ou de rester fidèle à son premier choix

Vous pouvez essayer les deux stratégies afin de vous convaincre si une des deux est plus efficace.

Il faut essayer plusieurs fois pour se faire une idée bien sûr, la chance n'y est pour rien !
Les candidats sont divisés entre : Pour savoir laquelle des deux stratégies est la meilleur, nous allons les étudier à l'aide des arbres de probabilité. Pour le premier choix, le joueur ne sait pas ce qu'il choisit. On notera les évènements suivants :
  • $V$ : « le joueur choisit la porte de la voiture »
  • $A_1$ : « le joueur choisit la porte de la première chèvre »
  • $A_2$ : « le joueur choisit la porte de la deuxième chèvre »
Après ce premier choix, Monty Hall retire au hasard une porte qui correspond à une chèvre. On note les évènements :
  • $B_1$ : « Monty Hall retire la première chèvre »
  • $B_2$ : « Monty Hall retire la deuxième chèvre »
Le deuxième choix du joueur n'est pas du au hasard car ici, il suit forcément une des deux stratégies. Le seul choix dû au hasard est celui de Monty Hall qui choisit d'éliminer une porte. Construire un arbre de probabilité représentant les deux étapes successives du jeu en plaçant les évènement $V$, $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$. Calculer la probabilité que le joueur choisisse la voiture lors du premier choix. Traduire par une phrase $p(A_1)$ et donner sa valeur. Compléter la première partie de l'arbre. Traduire par une phrase $p_V(B_1)$ et donner sa valeur. Quelle est la probabilité que Monty Hall retire la deuxième chèvre sachant que le joueur l'a choisie ? Justifier. Compléter la deuxième partie de l'arbre. A droite de l'arbre, pour chaque issue possible, écrire ce qu'il reste derrière les portes ("chèvre 1", "chèvre 2" ou "voiture"). Traduire par une phrase $p(A_1\cap B_2)$ et calculer sa valeur à l'aide d'une formule connue. Ecrire la probabilité que le joueur choisisse la voiture et que Monty Hall retire la première chèvre, puis la calculer. Compléter la droite de l'arbre pour chaque issue possible. On choisit la stratégie qui consiste à persister dans son choix : Quelles sont les issues de l'arbre qui donnent le candidat gagnant ? Calculer la probabilité de gagner. On choisit la stratégie qui consiste à changer d'avis au deuxième choix : Quelles sont les issues de l'arbre qui donnent le candidat gagnant ? Calculer la probabilité de gagner. Les deux stratégies se valent-t'elles ? Commenter.

Le problème de Monthy Hall fait partie de ces jeux changés ou abandonnés après que des mathématiciens l'ont étudié.

Un autre exemple connu est celui du "black jack" (jeu de carte) pour lequel quelques étudiants du MIT Massachusets Institute of Technology : université américaine spécialisée dans les domaines de la science et de la technologie, situé à Cambridge. ont reussi à duper les plus grands casino à l'aide des probabilités.

Un film, plus ou moins fidèle, Las Vegas 21 y est consacré :

Si ici les probabilités ont mis en évidence un déséquilibre innocent dans les règles d'un jeu télévisé, elles peuvent aussi être utilisées pour dévoiler des arnaques ou des abus de "faux-magiciens". Cette démarche s'appelle la zététique et encourage la pensée critique :