Suites géométriques
Précédemment, nous avons découvert les suites numériques en général puis plus particulièrement les suites arithmétiques. Pour des rappels, vous pouvez relire les cours précédents : test Introduction aux suites numériques. Formules explicite et récurrente. test Suites arithmétiques, formules explicite et récurrente, variations, représentation... Dans cette partie, nous étudierons un type de suites particulier : les suites géométriques. L'organisation du cours est très proche de celle des suites arithmétiques et ce n'est pas un hasard. La suite arithmétique est à l'addition ce que la suite géométrique est à la multiplication !
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Chaque valeur s'obtient donc en multipliant la précédente par une même valeur $q$, qui s'appelle aussi la raison de la suite. On peut citer en exemple la "loi" de Moore qui prévoyait que depuis les années 70, la "capacité de calcul" des microprocesseurs est multipliée par 2 tous les 2 ans. Des années 80 aux années 2000, les publicitaires de l'industrie du jeu vidéo singeaient la loi de Moore pour faire vendre les nouvelles générations de console en mettant en avant la taille en bits des données traitées par le microprocesseur. On parlait alors de génération 8bits, 16bits, 32bits, etcCet article vulgarise ce que signifie le nombre de bits d'une console retro. Ils se sont arrêtés après 64bits pour parler de consoles nextgen...

La conséquence la plus évidente de cette progression géométrique est visuelle : nombre de couleurs, taille et nombre de spritesUn sprite est une image animée de jeu telle qu'un personnage, un ennemi ou un élément de décor., nombre de polygones, etc.

Bien sûr, cette phase exponentielle ne peut pas durer indéfiniment. Si vous voulez en apprende davantage sur la loi de Moore dans le jeu vidéo :

Quand la raison $q$ est plus petite que $1$, la suite diminue (très rapidement). On peut donner en exemple les octaves d'une note musicale sur une corde. Les ocataves supérieures sont produites en divisant sa longueur par $2$ (multiplication par $\frac{1}{2}$). Les exemples théoriques et concrets reposants sur des suites géométriques sont très nombreux. Nous en découvrirons dans ce cours et dans les exercices.
Une suite de valeurs observée a une progression géométrique si pour passer d'un terme au suivant, on lui multiplie une valeur fixée (la raison). Mathématiquement celà se définit de la manière suivante : Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si elle est définie par la formule de récurrence : $$ \left\{ \begin{array}{ccc} u_{n+1} &=& q \times u_{n} \\ u_0 &=& \text{terme initial} \end{array} \right. $$

La suite des puissances de 2 $ (P_n) = (1,2,4,8,16,32,...)$ a une progression géométrique car chaque valeur est le double la précédente.

Le $(n+1)$-ième terme $P_{n+1}$ est égal au précédent multiplié par $2$, c'est à dire $2 P_{n}$. On a la formule de récurrence suivante : $$ \left\{ \begin{array}{ccc} P_{n+1} &=& 2 P_{n} \\ P_0 &=& 1 \end{array} \right. $$ La suite des puissances de $2$ est la suite géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $1$.

La formule par récurrence permet de calculer les termes dans l'ordre à partir du premier. La propriété suivante donne une formule explicite permettant le calcul de termes d'indices arbitraires: Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de terme initial $u_0$. Pour tout entier $n$, on a : $$ u_n = u_0 q^n $$

Dans la formule par récurrence, si on doit partir de $u_0$ multipliera $r$ autant de fois qu'il faut pour arriver jusqu'à $u_n$

Dans la formule explicite, on multiplie directement $u_0$ par $q\times q \times \dots \times q = q^n$ au premier terme $u_0$ pour faire les $n$ étapes en une seule :

Ce qui donne : $$ \begin{array}{ccc} u_{1} &=& q \times u_{0} \\ u_{2} &=& q \times q \times u_{0} = q^2 \times u_0 \\ u_{3} &=& q\times q^2 \times u_0 = q^3 \times u_0 \\ &...& \\ u_{n} &=& q^n u_{0}\\ \end{array} $$ La suite des nombres pairs $(P_n)$ est définie explicitement par : $$ u_n = 2^n$$ On peut ainsi calculer n'importe quelle valeur directement : $$ \begin{array}{ccccc} u_{0} &=& 2^0 &=& 1\\ u_{1} &=& 2^1 &=& 2\\ u_{2} &=& 2^2 &=& 4\\ u_{10} &=& 2^{10} &=& 1024\\ \end{array} $$ La $10$-ème puissance de $2$ est $1024$ Les suites géométriques permettent par exemple de modéliser mathématiquement l'évolution démographique. Le modèle est susceptible de fournir des hypothèses de prédiction pour l'avenir si avec les données passées il anticipe le présent : On estime à 1,14% le taux d'accroissement annuel de la population mondiale. Afin de construire une suite prévisionnelle de la population mondiale à partir de 2010 (où on estime la population à 6,842 milliards). On estime le taux d'accroissement annuel de la population à environ $1,0114$ il faut multiplier la population mondiale d'une année par le taux d'accroissement pour obtenir la population de l'année suivante. . En utilisant la population de 2010 et le taux d'accroissement, évaluer la population de 2011, 2012 et 2013 en milliard d'habitants. Arrondir à $10^{-4}$ près. Soit $u_0=6,842$ le nombre d'habitants en 2010 et $u_n$ le nombre d'habitant en $2010+n$ (où $n$ est un nombre entier). Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire une formule exprimant $u_n$ en fonction de $n$. À l'aide de la formule précédente, exprimez la population mondiale en 2020 en milliard d'habitants. Sachant que la population en 2020 est de $7,795$ milliards de personnes en 2020, commentez le résultat obtenu précédemment et précisez le pourcentage d'erreur.

Indice 1

 Multiplier le nombre d'habitants de 2010 par 1,0114. Le nombre d'habitants augmente.

Indice 2

 La formule de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ est la formule de récurrence d'une suite géométrique où $u_0=6,842$ et $q=1,0114$

Indice 3

 La formule de $u_{n}$ en fonction de $u_n$ est la formule explicite d'une suite géométrique où $u_0=6,842$ et $q=1,0114$

Indice 4

 Calculer $u_{20} = u_0 \times 1,0114^20 $

Indice 5

 Le taux d'erreur est $$ \frac{v_{reel} - v_{prevision}}{v_{reel}}$$

Population en 2011 : $6,842 \times 1,0114 \simeq 6,9200 $ milliards d'habitants

Population en 2012 : $6,92 \times 1,0114 \simeq 6,9989 $ milliards d'habitants

Population en 2013 : $6,9989 \times 1,0114 \simeq 7,0787 $ milliards d'habitants

$$ \left\{ \begin{array}{ccc} u_{n+1} &=& 1,0114 u_{n} \\ u_0 &=& 6,842 \end{array} \right. $$ D'après la question précédente, la suite est géométrique de raison $q=1,0114$ et de premier terme $u_0=6,842$, donc pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$ u_n = 6,842 \times 1,0114^n $$ Prédiction pour 2020 : $u_{20} = 6,842 \times 1,0114^{20} \simeq 8.5831 $ milliards d'habitants Le pourcentage d'erreur obtenu est de $$\frac{7,795 - 8,5831}{7,795}\times 100 = -10,11 \%$$

L'erreur semble assez importante. Il n'est sans doute pas raisonnable d'utiliser le modèle des suites géométriques pour prédire l'évolution d'une population sur le long terme.

En effet, les modèles mathématiques simples ne tiennent pas compte de phénomènes sociaux tels que les guerres, les pandémies et les différentes crises.

Afin de démontrer qu'une suite $(u_n)$ est géométrique, il faut montrer qu'il existe un nombre réel $q$ tel que $u_{n+1} = q u_n$.

Si la suite est nulle, elle est géométrique de raison $0$. Sinon, elle ne s'annule pasSi une suite est géométrique et qu'un terme s'annule, tous les termes suivants sont nuls par multiplication par la raison $q$. C'est donc la suite nulle.. Pour cela, on calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et après simplification on doit obtenir un nombre réel. La suite est alors géométrique et ce nombre est la raison $q$.

Afin de démontrer qu'une suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique, il suffit de trouver des contre-exemples, c'est à dire trouver un entier $k$ tel que : $$ \frac{u_{k+1}}{u_{k}} \neq \frac{u_{k+2}}{u_{k+1}} $$

On définit une suite de figures géométriques de la manière suivante :
  • $T_0$ est le triangle équilatéral plein de côté $1$
  • Placer le milieu de chaque côté et tracer le triangle issu de ces trois points
  • $T_1$ est obtenur en retirant le petit triangle central de $T_0$
  • On procède de la même manière sur chaque petit triangle plein pour obtenir $T_2, T_3, etc.$
On appelle $T_n$ la figure obtenue au bout de $n$ étapes ($n\in \mathbb{N}$). Soit $u_n$ le nombre de triangles pleins dans $T_n$ : Donner les valeurs des 5 premiers termes de la suite $(u_n)$. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. En déduire que la suite est géométrique de raison 3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Déterminer $u_{10}$. Pour quel entier $N$, la figure $T_N$ dépasse-t'elle le million de triangles ? Soit $u_n$ le nombre de triangles pleins dans $T_n$ : $u_0=1, u_1=3, u_2=3\times3=9, u_3=9\times 3=27, u_4=27\times 3=81$ On cherche une formule de récurrence. Soit $n\in \mathbb{N}$, $u_{n}$ est le nombre de triangle à la $n$-ième étape. Pour chacun de ces $u_n$ triangles, on en obtiendra $3$ à l'étape suivante. Donc : $$ u_{n+1} = 3 u_n $$ C'est la formule de récurrence d'une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $u_0=1$ On en déduit la formule explicite : $$ \begin{array}{ccc} u_{n+1} &=& u_0 q^n \\ u_{n+1} &=& 1 \times 3^n \\ u_{n+1} &=& 3^n \\ \end{array} $$ $u_{10} = 3^{10}= 59049$ $u_{12}= 3^{12}= 531441$ et $u_{13}= 3^{13}=1594323$ donc le million de triangles est dépassé dés la $13$-ème étape. Soit $c_{n}$ la suite définie pour tous $n \in \mathbb{N}$ par $c_n=n^2$. Calculer les 5 premiers termes de la suite $(c_n)$ La suite est-elle géométrique ? Si oui préciser sa raison et son premier terme. $c_0=0^2=0, c_1=1^2=1, c_2=2^2=2, c_3=3^2=9, c_4=4^2=16$

La suite n'est pas géométrique car $\frac{c_2}{c_1} = 2$ et $\frac{c_3}{c_2} = \frac{9}{4}$.

Sinon on pouvait remarquer que le premier étant nul, si la suite était géométrique tous les termes suivants le seraient aussi.

Ici, nous ne considérons que le cas où le premier terme est positif : Soit une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q$ et de premier terme $u_0$ positif :
  • Si $q \gt 1$, alors la suite est croissante.
  • Si $0 \lt q \lt 1$, alors la suite est décroissante
Et donc si $q=1$, la suite est constante et vaut toujours $u_0$ C'est assez intuitif, mais on peut le démontrer en étudiant le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ où $n\in\mathbb{N}$ et $u_n$ ne s'annule pas : $$ \begin{array}{ccll} \frac{u_{\color{red}{n+1}}}{u_{\color{blue}{n}}} &=& \frac{u_0 q^\color{red}{n+1}}{u_0 q^\color{blue}{n}} & \text{ (formule explicite)} \\ &=& q^{\color{red}{n+1} - \color{blue}{n}} & \\ &=& q^1 & \\ &=& q & \\ \end{array} $$ Donc $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = q$. Si $q \gt 1$, la suite est croissante. Si $0 \lt q \lt 1$, elle est décroissante. Dans cet exemple, $q \gt 1$ ($q=2$) et $u_0 > 0$ la suite est croissante : Dans cet exemple, $ 0 \lt q \lt 1$ ($q=\frac{1}{2}$) et $u_0 > 0$ la suite est décroissante : Nous pouvons entrevoir le comportement des suites géométriques à l'infini : Soit $q \neq 1$ un nombre réel et $$ et de premier terme $u_0$ positif :
  • Si $q \gt 1$, alors la suite tend vers $+\infty$. Cela signifie que les valeurs deviennent arbitrairement grandes
  • Si $0 \lt q \lt 1$, alors la suite a pour limite (ou "tend vers") $0$. Cela signifie que les valeurs deviennent infiniment proches de $0$
Soit $n$ un entier naturel : $$ 1 + q + q^2 + q^3 + ... + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$ Soit $n \in \mathbb{N}$, on définit la suite $S_n$ comme la somme des $n$ premières puissances de $q \neq 1$ un réel . $$ S_{n} = 1 + q + q^2 + q^3 + ... + q^n $$ On calcule aussi $q\times S_n$ : $$ q\times S_{n} = q + q^2 + q^3 + ... + q^{n+1} $$ En calculant la différence $S_n - q S_n$, de nombreuses simplifications apparaîssent. Ca s'appelle un télescopage : $$ \begin{array}{cccccccccccc} S_{n} &=& 1 &+& q &+& q^2 &+& q^3 &+& ... &+& q^n & & \\ q\times S_{n} &=& & & q &+& q^2 &+& q^3 &+& ... &+& q^n &+& q^{n+1} \\ \hline S_n - q S_n &=& 1 & + & 0 &+& 0 &+& 0 &+& ... &+& 0 & - & q^{n+1} \\ \end{array} $$ Et donc : $$ \begin{array}{ccl} S_n - q S_n &=& 1 - q^{n+1} \\ S_n(1 - q) &=& 1 - q^{n+1} \\ S_n &=& \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \\ \end{array} $$ Calculer les sommes suivantes : $1+3+3^2+...+3^{15}$ $3^{10}+3^{11}+...+3^{15}$ $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{15}}$ $1 - 3 + 9 - 27 +...+59049$ Soit $S=1+3+3^2+3^3+...+3^{15} = \frac{1 - 3^{15}}{1-3}$. On reconnaît la formule de la somme pour $q=3$ et $n=15$ : $$ \begin{array}{ccc} S&=& \frac{1-14348907}{-2} \\ &=& \frac{-14348906}{-2} \\ &=& 7174453 \\ \end{array} $$ Soit $S=3^{10}+3^{11}+...+3^{15}$

Pour clarifier les notations, appelons $S_n$ la somme des $n$ premières puissances de $3$. On remarque que dans la question précédente on a calculé $S_{15} = 7174453$.

On souhaite maintenant calculer $S$, c'est à dire $S_15$ auquel on retire les 10 premiers termes (jusqu'à $3^9$ inclu). C'est à dire : $$S=S_{15} - S_{9}$$ On calcule $S_9$ : \begin{array}{ccc} S_9 & = & 1+3+3^2+3^3+...+3^9 \\ S_9 & = & \frac{1-3^{10}}{1-3} \\ S_9 & = & \frac{1-59049}{-2} \\ S_9 & = & 29524 \end{array}

Et donc : $$ \begin{array}{ccc} S&=& S_{15} - S_{9} \\ &=& 7174453 - 29524 \\ &=& 7144929 \\ \end{array} $$ Soit $S=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{15}}$. On réécrit pour faire apparaître la formule : $$ \begin{array}{ccc} S&=& 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + ... + \left(\frac{1}{2}\right)^{15}\\ \end{array} $$ On peut donc appliquer la formule de la somme avec $q=\frac{1}{2}$ et $n=15$ : $$ \begin{array}{ccc} S&=& \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{15}}{1-\frac{1}{2}}\\ &=& \frac{1-\frac{1}{2^{15}}}{1-\frac{1}{2}}\\ &=& 2\times(1-\frac{1}{2^{15}})\\ &=& 2-\frac{2}{2^{15}}\\ &=& 2-\frac{1}{2^{14}} \simeq 1.99994 \end{array} $$ Soit $S = 1 - 3 + 9 - 27 +...+59049$. On réécrit pour faire apparaître la formule : $$ \begin{array}{ccc} S&=& 1 - 3 + 3^2 - 3^3 +...+3^10\\ &=& 1 + (-3) + (-3)^2 + (-3)^3 +...+(-3)^10 \\ \end{array} $$ Car $(-3)^n = 3^n$ pour $n$ pair et $(-3)^n = -3^n$ pour $n$ impair.

On reconnaît la formule de la somme avec $q=-3$ et $n=10$ :

$$ \begin{array}{ccc} S&=& 1 + (-3) + (-3)^2 + (-3)^3 +...+(-3)^10 \\ &=& \frac{1-(-3)^{10}}{1-(-3)}\\ &=& \frac{1-59049}{4}\\ &=& \frac{59048}{4}\\ &=& 14762 \end{array} $$ Soit $q$ un nombre réel et $S_n$ la somme définie pour tout $n$ entier par : $$ S_n = 1 + q + q^2 + ... + q^n $$
  • Si $q \gt 1$, alors la suite $S_n$ tend vers $+\infty$.
  • Si $0 \lt q \lt 1$, alors la suite $S_n$ a pour limite (ou "tend vers") $\frac{1}{1-q}$. Cela signifie que les valeurs deviennent infiniment proches de $\frac{1}{1-q}$
 La suite $S_n = 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^n}$ se rapproche de sa valeur limite : $$ \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$ En effet, en calculant les valeurs successives de $S_n$, on constate : $$ S_0=1 , S_1 = 1,5, S_2 = 1,75, S_3 = 1,875,..., S_{10} \simeq 1.998 $$

Cas où $\small q \gt 1$

Comme $S_n = 1 + q + q^2 + ... + q^n$, on sait que $S_n$ est plus grande $q^n$ qui tend déjà vers $+\infty$. Cela implique que la suite $S_n$ devient elle aussi arbitrairement grande et tend vers $+\infty$.

Cas où $\small 0 \lt q \lt 1$

On utilise la formule de la somme : $$ S_n = \frac{1-q^n}{1-q} $$ On sait que $q^n$ a pour limite $0$. Donc $\frac{1-q^n}{1-q}$ se rapproche autant que souhaité de $\frac{1-0}{1-q} = \frac{1}{1-q}$. Cela signifie que la limite de $S_n$ est $\frac{1}{1-q}$