Un homme souhaite creuser un puit dans son jardin. Le premier jour, il atteind une profondeur de $1$m. Le sol est de plus en plus dur et l'évacuation de la terre plus difficile. Il constate que le deuxième jour il ne creuse que les $\frac{4}{5}$ de la profondeur creusée la veille et fait la même remarque le lendemain. Avant de continuer le travail, l'homme décide de se poser et de réfléchir pour être bien sûr qu'il va atteindre son objectif : il sait, d'après son voisin qui a un puit, que l'eau se situe à $4,6$m de profondeur.
En considérant que chaque jour, il peut creuser les $\frac{4}{5}$ de la veille, l'homme se demande au bout de combien de jours il atteindra les $4,6$m. On note $(u_n)$ la profondeur creusée le $n$-ième jour (sans compter les jours précédents) : Calculer les premières valeurs $u_0,u_1,u_2,u_3$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que $(u_n)$ est géométriques et préciser sa raison $q$ et son premier terme $u_0$. Exprimer (u_n) en fonction de $n$ On note $(P_n)$ la profondeur totale du trou le $n$-ième jour. Calculer les premières valeurs $P_0,P_1,P_2,P_3$. Justifier que pour $n\in\mathbb{N}$, $P_n = 1 + \frac{4}{5} + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + ... + \left(\frac{4}{5}\right)^{n}$ En déduire que $P_n = 5 - 5 \times 0,8^{n+1} $ On va essayer de répondre à la question initiale : Déterminer à 0,1 près la profondeur atteinte après 5 jours, 7 jours, puis 10 jours. L'eau va-t-elle apparaître au fond du puit ? Si oui, au bout de combien de jours ? Faire une conjecture sur la profondeur maximale que l'homme peut atteindre.