Une vieille idée reçue circule dans les salle de classes : il serait impossible de plier une feuille de papier plus de 7 fois. Nous allons modéliser la situation à l'aide des suites géométriques et étudier la questions. Bien sûr en pratique il est toujours possible d'imaginer des moyens détournés... Nous raisonnons ici avec une feuille de papier de grande longueur de $30$ cm et d'épaisseur de la feuille $110$ micromètres ($1000$µm = $1$mm). Pour simplifier le raisonnement, nous plions la feuille en accordéon. À chaque pliage la grande longueur divisée par deux. On note $(u_n)$ la suite des longueurs obtenues à chaque pliage. Calculer les premières valeurs $u_0,u_1,u_2,u_3$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que $(u_n)$ est géométriques et préciser sa raison $q$ et son premier terme $u_0$. Exprimer (u_n) en fonction de $n$ On note $(v_n)$ la suite des épaisseurs obtenues à chaque pliage. Calculer les premières valeurs $v_0,v_1,v_2,v_3$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. En déduire que $(v_n)$ est géométriques et préciser sa raison $q$ et son premier terme $u_0$. Exprimer (v_n) en fonction de $n$ Trouver le premier $N$ pour lequel $u_N \lt v_N$ (attention aux unités !). Justifier. Quand la longueur de la feuille devient plus petite que l'épaisseur, il devient impossible de la plier. Est-il possible de plier cette feuille plus de 8 fois ? Merci à Marvin pour l'expérience de terrain !