Pourcentages et Fréquences

Une proportion exprime un rapport entre une partie et son tout.

On peut exprimer de manière chiffrée une proportion à l'aide d'un pourcentage ou d'une fréquence.

Lorsque l'on étudie une population $E$ et une sous-partie $A$, on appelle :
  • effectif total le nombre d'individus dans $E$ ( on note $|E|$)
  • effectif de $A$ le nombre d'individus dans $A$ ( on note $|A|$)
 Selon une nouvelle étude qui estime que notre planète est le foyer de 8,7 millions d’espèces dont 2,2 millions seraient marines.
  • La population étudiée $E$ est l'ensemble des espèces
  • L'effectif total est de $|E|=8 \ 700 \ 000$
  • La sous-partie des espèces marines $A$ a un effectif $|A|=2 \ 200 \ 000$.
 La fréquence $f$ est un nombre entre 0 et 1 qui représente la proportion de la sous-partie $A$ dans le tout $E$ :
  • $f=1$ signifie que la sous-partie $A$ contient tous les individus : $A = E$
  • $f=0$ signifie que la sous-partie $A$ ne contient aucun individus $A$ est vide
 Lorsque l'on étudie une population $E$ et une sous-partie $A$, la fréquence de $A$ dans $E$ vaut : $$ f = \frac{|A|}{|E|}$$ Selon les données de notre exemple précédent, la fréquence des espèces marines vaut : $$ f = \frac{|A|}{|E|} = \frac{2 \ 200 \ 000}{8 \ 700 \ 000} = \frac{22}{87} \simeq 0,25 $$ La réponse peut-être donnée sous forme de fraction, ou de nombre décimal :
  • Les espèces marines représentent $\frac{22}{87}$ des espèces.
  • La fréquence des espèces marines est d'environ $0,25$
 Un pourcentage est une fréquence donnée sous forme d'une fraction avec comme dénominateur $100$ : Une fréquence $f=\frac{25}{100}$ correspond à un pourcentage $t=25\%$ Lorsque l'on étudie une population $E$ et une sous-partie $A$, le pourcentage de $A$ dans $E$ vaut : $$ p = f\times100= \frac{|A|}{|E|} \times 100$$ En reprenant l'exemple précédent, le fréquence des espèces marines vaut : $$ t = \frac{|A|}{|E|} \times 100 \simeq 0,25 \times 100 = 25 $$ Les espèces marines représentent environ $25\%$ des espèces.

Soit $t$ et $x$ deux nombres réels positifs :

Appliquer un pourcentage de $t\%$ au nombre $x$ revient à multiplier $x$ par $\frac{t}{100}$

Selon cette étude récente, $86\%$ des $8 \ 700 \ 000$ espèces restent encore à découvrir (en 2011).

Calcul : $$8\ 700\ 000 \times \frac{86}{100} = 7\ 482\ 000 $$ Selon les données de l'étude, il resterait $7\ 482\ 000$ espèces animales à découvrir. Prendre 25% d'un nombre revient à multiplier par $0,25$. Pour comparer deux pourcentages :
  • Si les deux pourcentages sont données par rapport à un même ensemble de référence, on peut les comparer directement
  • Si les deux poucentages sont donnés par rapport à des ensembles de référence différents, on doit appliquer le pourcentage à chaque quantité et comparer les effectifs.
 Un cas où les ensembles de référence sont les mêmes : Une enquête faite sur une population de patients établit que, 20 % ont utilisé un médicament A et 70 % un médicament B. L’ensemble de référence étant le même, on peut dire que parmi ces personnes, il y en a plus qui prennent le médicament B que A Un cas où les ensembles de référence sont différents :

L’enquête établit aussi que parmi les femmes de cet ensemble, 30 % ont utilisé le médicament A, contre 25 % seulement parmi les hommes.

Les ensembles de référence sont différents ; on ne peut pas dire si le nombre de jeunes femmes ayant utilisé A est supérieur ou inférieur au nombre correspondant d’hommes ayant utilisé A.

On sait qu'il y avait 500 femmes et 300 hommes participant à l'étude. Il faut comparer les effectifs pour répondre à la question :

  • 30% des 500 femmes : $$500 \times \frac{30}{100}=150$$ 150 femmes ont pris le médicament A
  • 25% des 300 hommes : $$300 \times \frac{25}{100}=75$$ 75 hommes ont pris le médicament B

En conclusion, il y a plus de femmes que d'hommes ayant pris le médicament A.

Sur une même population, on peut être amené à étudier deux caractères simultanément. Par exemple : le poids et la taille, ou encore le nombre d'admis et le nombre de refusés dans un concours. Sur une même population, on considère deux caractères A et B. A possède 3 modalités disjointes $A_1$, $A_2$ et $A_3$, et B en possède 2 $B_1$ et $B_2$. Le tableau d'effectif à double entrée (ou tableau croisé) fait apparaître $A$ en colonne et $B$ en ligne : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & A_1 & A_2 & A_3 & \text{Total} \\ \hline B_1 & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ "A_1 \text{et} B_1" \end{array} & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ "A_2 \text{et} B_1" \end{array} & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ "A_3 \text{et} B_1" \end{array} & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ B_1 \end{array} \\ \hline B_2 & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ "A_1 \text{et} B_2" \end{array} & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ "A_2 \text{et} B_2" \end{array} & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ "A_3 \text{et} B_2" \end{array} & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ B_2 \end{array} \\ \hline \text{total} & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ A_1 \end{array} & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ A_2 \end{array} & \begin{array}{cc} \text{Effectif de}\\ A_3 \end{array} & \begin{array}{cc} \text{Effectif}\\ \text{Total} \end{array} \\ \hline \end{array} $$ On reprend le tableau croisé avec les caractères $A$ et $B$. On différencie fréquence et fréquence conditionnelle :
  • La fréquence de $A_1$ notée $f (A_1)$ est la proportion de $A_1$ par rapport à l'effectif total : $$ f (A_1) = \frac{\text{effectif de }A_1}{\text{effectif total}}$$
  • La fréquence conditionnelle de $A_1$ par rapport à $B_1$ notée $f_{B_1} (A_1)$ est la proportion de $A_1$ par rapport à $B_1$ : $$ f_{B_1} (A_1) = \frac{\text{effectif de }A_1 \text{ et } B_1}{\text{effectif de} B_1}$$
Le tableau ci-dessous résume les résultats d'un concours d'entrée à un institut de formation en soins infirmiers. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & \text{Generale (G)} & \text{Technologique (T)} & \text{Total} \\ \hline \text{Admis (A)} & 26 & 14 & 40 \\ \hline \text{Refuses (R)} & 16 & 4 & 20 \\ \hline \text{Admis} & 42 & 18 & 60 \\ \hline \end{array} $$

La fréquence de candidats issus de filières technologiques (T) parmi les admis (A) est :

$$ f_A (T) = \frac{14}{40} = 0,35 $$ Ce qui semble faible. Pourtant si on regarde les fréquences conditionnelles sous un autre angle :
  • La fréquence d'admis (A) parmi la filière générale (G) est $f_G (A) = \frac{26}{42} \simeq 0,62 $
  • La fréquence d'admis (A) parmi la filière technologique (T) est $f_T (A) = \frac{14}{18} \simeq 0,78 $

A première vue, il y a moins de candidats issus des filières technologiques admis, mais comme ils sont également moins nombreux à candidater, la question se pose de savoir si ils sont avantagés ou désavantagés par rapport aux filières générales.

Les fréquences conditionnelles permettent de s'appercevoir, qu'en réalité, les filières technologiques ont un meilleur taux de réussite.
On considère ici, une quantité passant de la valeur initiale $v_i$ à la valeur finale $v_f$. On basera nos raisonnements sur les deux exemples suivant : exemple(Un voyage valait $v_i=240$€ le premier janvier 2014. Il vaut $v_f=276$€ le premier janvier 2015.) exemple(Un ordinateur haut de gamme valait $v_i=2000$€ le premier janvier 2014. Il vaut $v_f=1728$€ le premier janvier 2015.) Le taux d'évolution $t$ pour passer de $v_i$ à $v_f$ est : $$ t = \frac{v_f - v_i}{v_i}\times 100$$
  • Dans le premier exemple, $t = \frac{276-240}{240}\times 100 = 0,15\times 100 = 15$
  • Dans le deuxième exemple, $t = \frac{1728-2000}{2000} \times 100= -0,136 \times 100 = -13,6$
Dans les premier cas, le billet a subit une hausse de $15\%$ et dans le second cas, le prix de l'ordinateur à baissé de $13,6\%$. Un taux positif indique une hausse, tandis qu'un taux négatif indique une baisse. Pour obtenir une valeur finale $v_f$ à partie d'une valeur initiale $v_i$ ayant subit une évolution de taux $t$ : $$ v_f = (1 + \frac{t}{100})\times v_i $$ La valeur $1 + \frac{t}{100}$ est appelée le coefficient multiplicatif (CM)
  • Pour calculer une hausse de $25\%$, il faut multiplier par $1+\frac{25}{100}=1,25$
  • Pour calculer une baisse de $30\%$, il faut multiplier par $1-\frac{30}{100}=0,70$